1. Konsep Logika
Apakah logika itu ?
Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar
dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah).
Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan
kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan
kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi
yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.
2. Pentingnya Belajar Logika
Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar
kita, karena dengan belajar logika :
a. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara
penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa
dijumpai.
b. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan
problem-problem yang lebih kompleks.
3. Sejarah Ringkas dan Perkembangan Logika
Manusia belajar logika sejak jaman Yunani Kuno. Aristoteles (384 - 322
SM) adalah seorang filsuf yang mengembangkan logika pada jaman itu, yang pada
waktu itu dikenal dengan sebutan logika tradisional.
Terdapat 5 aliran besar dalam logika, yaitu :
1. Aliran Logika Tradisional
Logika ditafsirkan sebagai suatu kumpulan aturan praktis yang menjadi
petunjuk pemikiran.
2. Aliran Logika Metafisis
Susunan pikiran itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap seperti
metafisika. Tugas pokok logika adalah menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap
dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus
belajar logika lebih dahulu.
3. Aliran Logika Epistemologis
Dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard
Bosanquet (1848 - 1923). Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran
logis dan perasaan harus digabung. Demikian juga untuk mencapai kebenaran,
logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.
Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika
Pragmatis)
Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika
dianggap Sebagai alat (instrumen) untuk
memecahkan masalah.
5. Aliran Logika Simbolis
- Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan.
- Sangat menekankan penggunaan bahasa simbol
untuk mempelajari secara terinci, bagaimana akal
harus bekerja.
- Banyak menggunakan metode-metode dalam
mengembangkan matematika.
- Berkembang sangat teknis dan ilmiah serta bercorak
matematika.
- Disebut Logika Matematika (Mathematical Logic).
- G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap sebagai
matematikawan pertama yang mempelajari
Logika Simbolik.
- George Boole (1815 - 1864) berhasil mengembangkan Logika Simbolik(abad
19).
Bukunya yang berjudul Law of Though mengembangkan logika sebagai sistem
matematika yang abstrak.
Logika Simbolik ini merupakan logika formal yang semata-mata menelaah bentuk
dan bukan isi dari apa yang dibicarakan.
Dua pendapat tentang Logika Simbolik yang
merangkum keseluruhan maknanya.
1. Logika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya
yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan
simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda
dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).
2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa.
Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk
menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.
Studi tentang logika berkembang terus dan sekarang logika menjadi ilmu
pengetahuan yang luas dan yang cenderung mempunyai sifat teknis dan ilmiah.
Aljabar Boole, salah satu topik yang merupakan perluasan logika (dan teori
himpunan), sekarang ini digunakan secara luas dalam mendesain komputer.
Penggunaan simbol-simbol Boole dapat mengurangi banyak kesalahan dalam
penalaran.
Ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol,
karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya
menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal lainnya yang menjadi pendukung perkembangan
logika simbolik adalah De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834
- 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970).
Operasi
S = {a, b, c}
S x S = {{a,a},{a,b},{a,c},{b,a},{b,b},{b,c},{c,a},{c,b},{c,c}}
∞ Sebuah operasi n-ary pada himpunan S merupakan pemetaan dari S x S didalam S.
∞ Operasi yang melibatkan dua buah operan/nilai disebut operasi biner.
∞ Andaikan * adalah operasi biner dalam himpunan S, maka akan ditulis a*b atau
cukup ab.
∞ Jika S adalah sebuah himpunan tertentu, maka operasi diberikan dalam bentuk
tabel dengan nilai baris a dan kolom b adalah a*b.
∞ Jika A adalah himpunan bagian dari S, maka A dikatakan tertutup terhadap
operasi * jika a*b anggota dari A untuk setiap elemen a dan b didalam A.
∞ Sebagai contoh, jika S adalah himpunan bilangan bulat dan A adalah himpunan
bilangan bulat positif, maka A tertutup terhadap penjumlahan tetapi tidak
tertutup terhadap pengurangan.
Hukum
∞ Asosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c )
∞ e dikatakan elemen identitas jika a * e = e * a = a
∞ e dikatakan identitas kiri jika e * a = a
∞ e dikatakan identitas kanan jika a * e = a
∞ Jika e adalah identitas kanan dan f adalah identitas kiri, maka e = f
Pembuktian :
f sebagai identitas kanan : e *f = e
e sebagai identitas kiri : e *f = f
maka e = f
∞ Pengabaian kiri : a * b = a * c mengakibatkan b = c
∞ Pengabaian kanan: b * a = c * a mengakibatkan b = c
∞ Komutatif : b * a = a * b
∞ Jika dalam operasi * pada himpunan S memiliki elemen identitas e, dan inversi
dari a didalam S dinyatakan dengan a-1 yang merupakan elemen dengan sifat :
a * a -1 = a -1 * a = e
∞ Jika operasi memenuhi hukum asosiatif, maka inversi dari a, jika ada, adalah
unik
∞ Himpunan S dengan operasi asosiatif * disebut semigroup dan dinyatakan dengan
(S,*)
Contoh
∞ Jika Z = {…, -1, 0, 1, …}, maka (Z,+) adalah semigroup karena penjumlahan
memenuhi hukum asosiatif.
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Disisi lain (Z,-) bukan semigroup karena tidak memenuhi hukum asosiatif.
( a - b ) - c ≠ a - ( b - c )
( 1 - 2 ) - 3 ≠ 1 - ( 2 - 3 )
